10 Bài tập Chứng minh đường thẳng song song (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Theo định lí Thalès đảo nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Nên C sai.

Đáp án đúng là: B

Trong tam giác ABC, ta có: $\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{DB}}}} = \frac{5}{2};\frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{EB}}}} = \frac{{7{,}5}}{3} = \frac{5}{2}$.

Vì $\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{DB}}}} = \frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{EB}}}} = \frac{5}{2}$ nên DE // AC (định lí Thalès đảo).

Đáp án đúng là: A

Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có:

$\frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{AN}}}} = \frac{1}{3}$, do đó $\frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{AN + CN}}}} = \frac{1}{{3 + 1}} = \frac{1}{4}$ hay $\frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{1}{4}$ (1).

Vì BC = 4CM nên $\frac{{{\rm{CM}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{1}{4}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{{\rm{CM}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{1}{4}$.

Trong tam giác ABC có $\frac{{{\rm{CM}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{1}{4}$ nên MN // AB (định lí Thalès đảo).

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{DA}}}} = \frac{{14}}{{12}} = \frac{7}{6};\frac{{{\rm{BE}}}}{{{\rm{EC}}}} = \frac{{21}}{{18}} = \frac{7}{6};\frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{FC}}}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}$

Suy ra $\frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{DA}}}} = \frac{{{\rm{BE}}}}{{{\rm{EC}}}} = \frac{7}{6}$.

Trong tam giác ABC có $\frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{DA}}}} = \frac{{{\rm{BE}}}}{{{\rm{EC}}}}$ nên DE // AC (định lí Thalès đảo).

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác OAB có DE // AB nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{OE}}}}{{{\rm{OB}}}} = \frac{{{\rm{OD}}}}{{{\rm{OA}}}}$ (1)

Xét tam giác OAC có DF // AC nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{OF}}}}{{{\rm{OC}}}} = \frac{{{\rm{OD}}}}{{{\rm{OA}}}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{{\rm{OE}}}}{{{\rm{OB}}}} = \frac{{{\rm{OF}}}}{{{\rm{OC}}}} = \frac{{{\rm{OD}}}}{{{\rm{OA}}}}$.

Trong tam giác OBC có $\frac{{{\rm{OE}}}}{{{\rm{OB}}}} = \frac{{{\rm{OF}}}}{{{\rm{OC}}}}$ nên EF // BC (định lí Thalès đảo).

Vậy A sai.

Đáp án đúng là: D

Gọi B là trung điểm của NP.

Vì K là trọng tâm tam giác MNP nên ${\rm{BK}} = \frac{1}{3}{\rm{MB}}$ (tính chất trọng tâm của tam giác) hay $\frac{{{\rm{BK}}}}{{{\rm{MB}}}} = \frac{1}{3}$(1).

Vì L là trọng tâm tam giác NPQ nên ${\rm{BL}} = \frac{1}{3}{\rm{QB}}$(tính chất trọng tâm của tam giác) hay $\frac{{{\rm{BL}}}}{{{\rm{QB}}}} = \frac{1}{3}$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{{\rm{BK}}}}{{{\rm{MB}}}} = \frac{{{\rm{BL}}}}{{{\rm{QB}}}} = \frac{1}{3}$.

Trong tam giác BMQ có $\frac{{{\rm{BK}}}}{{{\rm{MB}}}} = \frac{{{\rm{BL}}}}{{{\rm{QB}}}}$ nên MQ // KL (định lí Thaslès đảo).

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABK có IM // BK nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AK}}}}$(1)

Xét tam giác AIC có IC // NK nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AI}}}} = \frac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{AC}}}}$(2)

Nhân theo vế (1) với (2) ta được:

$\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{AB}}}} \cdot \frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AI}}}} = \frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AK}}}} \cdot \frac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{AC}}}}$

Suy ra $\frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AC}}}}$.

Trong tam giác ABC có $\frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AC}}}}$ nên MN // BC (định lí Thalès đảo).

Đáp án đúng là: B

Đáp án đúng là: B

Ta có $\frac{{{\rm{IB}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3};\frac{{{\rm{KC}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}$ do đó $\frac{{{\rm{IB}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{KC}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{2}{3}$.

Trong tam giác ABC có $\frac{{{\rm{IB}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{KC}}}}{{{\rm{AC}}}}$ nên IK // BC (định lí Thaslès đảo).

Đáp án đúng là: C

Có DE ⊥ DC nên DE ⊥ BC (D ∈ BC).

Vì AH ⊥ BC nên AH // DE.

Lại có DK ⊥ AC , AB ⊥ AC nên DK // AB.

Xét tam giác ABC có DK // AB nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{CB}}}} = \frac{{{\rm{CK}}}}{{{\rm{CA}}}}$(1)

Xét tam giác AHC có DE // AH nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{CH}}}} = \frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{CA}}}}$(2)

Chia theo vế (1) cho (2) ta được:

$\frac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{CB}}}}:\frac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{CH}}}} = \frac{{{\rm{CK}}}}{{{\rm{CA}}}}:\frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{CA}}}}$

Suy ra $\frac{{{\rm{CH}}}}{{{\rm{CB}}}} = \frac{{{\rm{CK}}}}{{{\rm{CE}}}}$.

Trong tam giác CEB có $\frac{{{\rm{CH}}}}{{{\rm{CB}}}} = \frac{{{\rm{CK}}}}{{{\rm{CE}}}}$ nên HK // BE (định lí Thaslès đảo).

Đáp án đúng là: A

Ta có QD ⊥ AC, HE ⊥ AC (H ∈ BE) nên HE // QD hay BE // QD (H ∈ BE).

Xét tam giác ADQ có HE // DQ nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{EQ}}}} = \frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{HD}}}}$ (1).

Có HF ⊥ AB (H ∈ CF), DM ⊥ AB nên HF // DM hay CF // DM.

Xét tam giác AMD có HF // DM nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{FM}}}} = \frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{HD}}}}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{EQ}}}} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{FM}}}}$.

Trong tam giác AMQ có $\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{EQ}}}} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{FM}}}}$ nên EF // MQ (định lí Thaslès đảo) (*).

Xét tam giác BFC có CF // DM nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{{\rm{BM}}}}{{{\rm{BF}}}} = \frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{BC}}}}$ (3).

Có DN ⊥ BE, BE ⊥ EC (E ∈ AC) nên DN // CE.

Xét tam giác BEC có DN // CE nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{{\rm{BN}}}}{{{\rm{BE}}}} = \frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{BC}}}}$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{{{\rm{BM}}}}{{{\rm{BF}}}} = \frac{{{\rm{BN}}}}{{{\rm{BE}}}}$.

Trong tam giác BEF có $\frac{{{\rm{BM}}}}{{{\rm{BF}}}} = \frac{{{\rm{BN}}}}{{{\rm{BE}}}}$ nên MN // EF (định lí Thaslès đảo) (**).

Xét tam giác BEC có QD // BE nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{{\rm{CQ}}}}{{{\rm{QE}}}} = \frac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{DB}}}}$ (5).

Có DP ⊥ CF, BF ⊥ CF (F ∈ AB) nên DP // BF.

Xét tam giác BFC có DP // BF nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{{\rm{CP}}}}{{{\rm{PF}}}} = \frac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{DB}}}}$ (6).

Từ (5) và (6) suy ra $\frac{{{\rm{CQ}}}}{{{\rm{QE}}}} = \frac{{{\rm{CP}}}}{{{\rm{PF}}}}$.

Trong tam giác CEF có $\frac{{{\rm{CQ}}}}{{{\rm{QE}}}} = \frac{{{\rm{CP}}}}{{{\rm{PF}}}}$ nên PQ // EF (định lí Thaslès đảo)(***)

Từ (*), (**), (***) suy ra M, N, P, Q thẳng hàng.

Vậy A sai.