10 Bài tập Chứng minh đẳng thức vectơ (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC

Có: $\widehat{ABD}={90}^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó, BD vuông góc với AB.

Mà CH vuông góc với AB vì H là trực tâm.

Do đó, BD // CH.

Chứng minh tương tự ta có: CD // BH.

Do đó, HBDC là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}$ (quy tắc hình bình hành).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC

Có: $\widehat{ABD}={90}^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó, BD vuông góc với AB.

Mà CH vuông góc với AB vì H là trực tâm.

Do đó, BD // CH.

Chứng minh tương tự ta có: CD // BH.

Do đó, HBDC là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}$ (quy tắc hình bình hành)

Vậy $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}+(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC})=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}$

$=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}$

$=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}+(\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{ED})$

$=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DD}$

$=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có, ABIJ, BCPQ, CARS là các hình bình hành nên:

$\overrightarrow{RA}=\overrightarrow{SC}$, $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{BI}$, $\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{QB}$

Mặt khác, có:

$\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}$

$=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}$

$=\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{CS}$

$=(\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{CS})+(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IB})+(\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{QB})$

$=\overrightarrow{0}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do ABCD là hình bình hành nên: $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

Do đó, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Do ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành, ta có:

$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Hình vuông ABCD tâm O nên O là trung điểm của AC và BD, do đó ta có: $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BO}$.

Ta có:

$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}$ (luôn đúng).

Vậy đẳng thức C đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Hình vuông ABCD tâm O nên O là trung điểm của AC và BD, do đó ta có: $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO}$.

Ta có:

$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{AO}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

(luôn đúng do ABCD là hình vuông)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Hình thoi ABCD tâm O nên O là trung điểm của AC và BD, do đó ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$ và $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{OD}$

Ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}$.