10 Bài tập Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng của vectơ hoặc về độ dài đoạn thẳng (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB vuông góc với HC và AC vuông góc với HB nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=0;\ \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}=0$ .

Do M là trung điểm BC nên ta có:

$2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$;

$2\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}$.

Do đó:$4\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=2\overrightarrow{AM}.2\overrightarrow{HM}$

$=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC})$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}$

$=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CB})+\overrightarrow{AC}(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{BC})$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{CB}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})$

$=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CB}=C{B}^{2}=B{C}^{2}$

Vậy $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\frac{1}{4}B{C}^{2}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}$ .

Ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}$

$\Leftrightarrow {(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})}^{2}=9{\overrightarrow{OM}}^{2}$

$\Leftrightarrow {\overrightarrow{MA}}^{2}+{\overrightarrow{MB}}^{2}+{\overrightarrow{MC}}^{2}+2(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA})=9{\overrightarrow{MO}}^{2}$

Mặt khác, ta lại có:

${\overrightarrow{MA}}^{2}+{\overrightarrow{MB}}^{2}+{\overrightarrow{MC}}^{2}={(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})}^{2}+{(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})}^{2}+{(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})}^{2}$

$={\overrightarrow{MO}}^{2}+2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OA}+{\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{MO}}^{2}+2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OB}+{\overrightarrow{OB}}^{2}+{\overrightarrow{MO}}^{2}+2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OC}+{\overrightarrow{OC}}^{2}$

$=3{\overrightarrow{MO}}^{2}+{\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}+{\overrightarrow{OC}}^{2}+2\overrightarrow{MO}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$

$=3M{O}^{2}+{a}^{2}$

Như vậy, ta được:

$3M{O}^{2}+{a}^{2}+2(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA})=9M{O}^{2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}=3M{O}^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}$

Mà M thuộc đường tròn tâm O bán kính $\frac{a}{2}$ nên $MO=\frac{a}{2}\Rightarrow M{O}^{2}=\frac{{a}^{2}}{4}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}=\frac{{a}^{2}}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do O là trung điểm AB nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$ và OA = OB, hai vectơ $\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB}$ ngược hướng, do đó $(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB})=180^{\circ}$ .

Ta có:

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM})(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM})$ (quy tắc ba điểm)

$=\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).\overrightarrow{OM}+{\overrightarrow{OM}}^{2}$

$=|\overrightarrow{OA}|.|\overrightarrow{OB}|.\cos (\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB})-\overrightarrow{0}.\overrightarrow{OM}+{\overrightarrow{OM}}^{2}$

$=OA.OB.\cos 180^{\circ}-0+O{M}^{2}$

$=O{M}^{2}-O{A}^{2}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$A{B}^{2}+C{D}^{2}={\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{CD}}^{2}={(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB})}^{2}+{(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD})}^{2}$

$=A{D}^{2}+2D{B}^{2}+B{C}^{2}+2\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CB}$

$=B{C}^{2}+A{D}^{2}+2\overrightarrow{DB}(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CB})$

$=B{C}^{2}+A{D}^{2}+2\overrightarrow{DB}((\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB})-\overrightarrow{CB})$

$=B{C}^{2}+A{D}^{2}+2\overrightarrow{DB}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB})$

$=B{C}^{2}+A{D}^{2}+2\overrightarrow{DB}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})$

$=B{C}^{2}+A{D}^{2}+2\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{AC}$

Mà AC vuông góc với BD nên ta có:$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$

Do đó: $A{B}^{2}+C{D}^{2}=B{C}^{2}+A{D}^{2}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB vuông góc với HC và AC vuông góc với HB nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=0;\ \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}=0$ .

Do M là trung điểm BC nên ta có:

$2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

$2\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}$

Do đó ta có:

$4\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=2\overrightarrow{AM}.2\overrightarrow{HM}$

$=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC})$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}$

$=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CB})+\overrightarrow{AC}(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{BC})$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{CB}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})$

$=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CB}=C{B}^{2}=B{C}^{2}$

Vậy $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\frac{1}{4}B{C}^{2}$ .

Ta có:

$A{H}^{2}={\overrightarrow{AH}}^{2}={(\overrightarrow{MH}-\overrightarrow{MA})}^{2}={\overrightarrow{MH}}^{2}+{\overrightarrow{MA}}^{2}-2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}$

$=M{H}^{2}+M{A}^{2}-2.\frac{1}{4}.B{C}^{2}$

Do đó: $M{H}^{2}+M{A}^{2}=A{H}^{2}+\frac{1}{2}B{C}^{2}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

3M’G’ = BC

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{M'G'}=\overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{M'G'}.\overrightarrow{BC}={\overrightarrow{BC}}^{2}$ (nhân cả hai vế với vectơ $\overrightarrow{BC}$ ).

Do M’ là hình chiếu của M trên BC, G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC nên $\overrightarrow{M'G'}=\overrightarrow{MG}$ .

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ .

Do đó, ta có:

$3\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{BC}={\overrightarrow{BC}}^{2}$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})=B{C}^{2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})=B{C}^{2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})+M{C}^{2}-M{B}^{2}=B{C}^{2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=B{C}^{2}+M{B}^{2}-M{C}^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ .

Ta có:

$M{A}^{2}+M{B}^{2}+M{C}^{2}$

$={\overrightarrow{MA}}^{2}+{\overrightarrow{MB}}^{2}+{\overrightarrow{MC}}^{2}={(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})}^{2}+{(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})}^{2}+{(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})}^{2}$ (quy tắc ba điểm)

$=3M{G}^{2}+G{A}^{2}+G{B}^{2}+G{C}^{2}+2\overrightarrow{MG}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$

.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do M thuộc cạnh AB nên ta có:

$\overrightarrow{AM}=-\frac{AM}{BM}.\overrightarrow{BM}$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM})=-\frac{AM}{BM}.(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM})$

$\Leftrightarrow (1+\frac{AM}{BM})\overrightarrow{CM}=-\frac{AM}{BM}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow \frac{BM+AM}{BM}\overrightarrow{CM}=\frac{AM}{BM}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$

$\Leftrightarrow \frac{AB}{BM}\overrightarrow{CM}=\frac{AM}{BM}\overrightarrow{CB}+\frac{BM}{BM}\overrightarrow{CA}$

$\Leftrightarrow AB.\overrightarrow{CM}=AM.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CA}$

$\Leftrightarrow c.\overrightarrow{CM}=AM.\overrightarrow{CB}+BM.\overrightarrow{CA}$

$\Leftrightarrow {(c.\overrightarrow{CM})}^{2}={(AM.\overrightarrow{CB}+BM.\overrightarrow{CA})}^{2}$

$\Leftrightarrow {c}^{2}.C{M}^{2}=A{M}^{2}.C{B}^{2}+B{M}^{2}.C{A}^{2}+2AM.BM.\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$

$\Leftrightarrow {c}^{2}.C{M}^{2}={a}^{2}.A{M}^{2}+{b}^{2}.B{M}^{2}+2AM.BM.CA.CB.\cos C$

$\Leftrightarrow {c}^{2}.C{M}^{2}={a}^{2}.A{M}^{2}+{b}^{2}.B{M}^{2}+2AM.BM.b.a.\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$ (định lí côsin)

$\Leftrightarrow {c}^{2}.C{M}^{2}={a}^{2}.A{M}^{2}+{b}^{2}.B{M}^{2}+({a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}).AM.BM$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=(\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}).(\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OA})$

$=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{ON}+{\overrightarrow{OA}}^{2}$

$=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}-(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}).\overrightarrow{OA}+{\overrightarrow{OA}}^{2}$

Vì MN là đường kính của đường tròn O, bán kính R nên O là trung điểm của MN, do đó ta có:

+) $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{0}$ ;

+) $\overrightarrow{OM},\ \overrightarrow{ON}$ là hai vectơ ngược hướng và OM = ON = R.

Do đó: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}$ $=|\overrightarrow{OM}|.|\overrightarrow{ON}|.\cos 180^{\circ}-\overrightarrow{0}.\overrightarrow{OA}+{\overrightarrow{OA}}^{2}$

$=R.R.(-1)+{d}^{2}={d}^{2}-{R}^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì AB là đường kính nên $\widehat{ADB}=90^{\circ}$ ,$\widehat{ACB}=90^{\circ}$

Do đó AD ⊥ BD và AC ⊥ BC hay AD ⊥ BE và AE ⊥ BC.

Suy ra $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BC}=0,\ \overrightarrow{BE}.\overrightarrow{AD}=0$

Ta có:

$\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{BD}=A{B}^{2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AE}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{BE}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})=A{B}^{2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{AD}=A{B}^{2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{BA}=A{B}^{2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{BE})=A{B}^{2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{EB}-\overrightarrow{EA})=A{B}^{2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=A{B}^{2}$ $\Leftrightarrow {\overrightarrow{AB}}^{2}=A{B}^{2}$ (luôn đúng)