10 Bài tập Chứng minh ba điểm thẳng hàng (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

+ Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên G nằm trong tam giác ABC, do đó ba điểm A, B, G và A, C, G không thể thẳng hàng.

+ Vì $\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}$ nên A, I, B thẳng hàng và I không phải trung điểm AB nên A, I, G không thẳng hàng.

+ Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC nên:

$\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=3\overrightarrow{JG}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=6\overrightarrow{JG}$

Mà:$3\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow 2\overrightarrow{JC}=-3\overrightarrow{JA}$

Nên:$2\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JA}=6\overrightarrow{JG}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{JB}=6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}$

Mặt khác:$\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\Leftrightarrow \overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{JB}$

Mà $2\overrightarrow{JB}=6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}$ nên ta lại có:

$\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{IJ}+6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{IJ}=-6\overrightarrow{JG}$

Vậy I, J, G thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$3\overrightarrow{AN}-2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MN}-2\overrightarrow{AP}-2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ (quy tắc ba điểm)

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}-2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$

Mà: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ và $2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}$ nên ta có:

$\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}-2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{BP}=0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MP}+3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}=0$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}$.

Vậy M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có:

$\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}\Leftrightarrow \overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}$

Mặt khác ta có:

$\begin{matrix}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB} \\ =\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}-2(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}) \\ =-\overrightarrow{MC}+(\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}) \\ =-\overrightarrow{MC}\end{matrix}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MC}$

Vậy M, N, C thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow 3\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (1)

Lại có:$\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

Do ABCD là hình bình hành nên ta có:$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$

Do đó, ta có: $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\Rightarrow 2\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$(2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow 3\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AH}\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AH}$

Vậy A, K, H thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow 6\overrightarrow{AK}=5\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$(1)

$\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}$

Do ABCD là hình bình hành nên ta có:$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$

Do đó, ta có: $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}\Rightarrow 5\overrightarrow{AH}=5\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow 6\overrightarrow{AK}=5\overrightarrow{AH}\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AH}$

Vậy A, K, H thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có:

$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow -\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}=0\Leftrightarrow -\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow -\overrightarrow{AN}+3(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AN})=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 4\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow \overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=3(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM})\Leftrightarrow 2\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Do đó, có:

$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}$

Vậy M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC nên có:

$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=3\overrightarrow{IG}\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=3\overrightarrow{IG}-\overrightarrow{IB}$

Theo bài ra ta có:$\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IA})-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{IG}-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{IG}=2\overrightarrow{IB}\Leftrightarrow \overrightarrow{IG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{IB}$

Vậy I, G, B thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:$\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{BI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}.\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{3}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB})=\frac{3}{2}\overrightarrow{BJ}$

Do đó, $\overrightarrow{BI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BJ}$

Vậy B, I, J thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Vì I là trung điểm AD nên có:

$\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow \overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=x(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})\Leftrightarrow \overrightarrow{BM}=(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}$

Ba điểm B, I, M thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho

$\overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BI}$

$\Leftrightarrow (1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}=\frac{k}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{k}{3}\overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow (1-x-\frac{k}{2})\overrightarrow{BA}+(x-\frac{k}{3})\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}1-x-\frac{k}{3}=0 \\ x-\frac{k}{2}=0\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=\frac{2}{5} \\ k=\frac{6}{5}\end{matrix}$

Vậy x = $\frac{2}{5}$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: $\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CI}\Leftrightarrow \overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$(1)

Lại có: $\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB})$

Và $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{DC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB})$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DI}$

Vậy D, E, I thẳng hàng.