10 bài tập Các bài toán về chứng minh (có lời giải)

Gọi khoảng cách từ $M$ đến $AB$ là $MH$ và bán kính đường tròn $\left( O \right)$ là $R$. Ta có $OM = OA = OB( = R)$.

Đó đó $\Delta AMB$ vuông tại $M$.

Ta có $\Delta MHA$$\Delta BHM(g \cdot g) \Rightarrow \frac{{MH}}{{HA}} = \frac{{BH}}{{HM}}$

$\Rightarrow MH = \sqrt {HA \cdot HB} \le \frac{{HA + HB}}{2} \le \frac{{AB}}{2}$

$\Rightarrow M{H^2} = HA \cdot HB$ (đpcm).

Dễ thấy các tam giác $BMC$ và $BNC$ đều là các tam giác vuông lần luợt tại $M$ và $N$ và $OM,ON$ lần luợt là các trung tuyến.

Ta có $OM = ON = OB = OC( = R$, trong đó $R$ là bán kính đường tròn đường kính $BC$ )

Xét tam giác $MON$, ta có $MN < OM + ON$ (bất đẳng thức tam giác)

Mà$OM + ON = OB + OC = BC$.

Vậy $MN < BC$.

Ta có thể kết luận theo bài học: “Trong một đường tròn dây lớn nhất là đường kính”.

Kẻ $OI$ $\bot CD$, tam giác $COD$ cân tại $O$ nên đường cao $OI$ đường thời đường trung tuyến $\Rightarrow IC = ID$.

Lại có $AHKB$ là hình thang vuông.

($AH{\rm{//}}BK( \bot HK)$) mà $OI$ là đường trung bình nên $I$ là trung điểm của $HK$ ta có $IH = IK$

$\Rightarrow HI - CI = KI - ID{\rm{ hay }}CH = DK$

Nhận xét: Do $HI = KI$ và $IC\; = ID$ nên ta có $HI + ID = IK + IC$ hay $HD = KC$. Ta có bài toán sau:

Cho đường tròn $(O)$đường kính $AB$, dây $CD$ không cắt đường kính $AB$. Gọi $H,K$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ $A,B$ đến $CD$. Chứng minh rằng $HD = CK$ (Học sinh tự giải).

Trường hợp dây $CD$ cắt đường kính $AB$ đưa ta đến bài toán 4 sau đây.

Kẻ $OI \bot CD$ ta có $IC = ID$ (tam giác $COD$cân tại $O$ nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến)

Gọi M là giao điểm của OI và $AK$ ta có $M$ là trung điểm của $AK$.

Xét $\Delta AKH$ có $M$ là trung điểm của $AK$

$MI{\rm{\;//}}AH$(vì cùng $\bot CD$)

$\Rightarrow$ $I$ là trung điểm của $HK$ hay $IH = IK$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow IC - IH = ID - IK$ hay $CH = DK$

Nhận xét: Theo bài toán 1. Trên dây $CD$ ta lấy thêm điểm $M$.

Khi đó $OI \le OM$. Mà $OM = \frac{{AH + BK}}{2}$ (tính chất đường trung bình của hình thang)

$\Rightarrow AH + BK \le 2OM$.

Ta có $AH,{\rm{ }}BK$ cùng vuông góc với $CD$

$\Rightarrow$ Tứ giác $ABKH$ là hình thang và có $OI$ là đường trung bình

$OI = \frac{{AH + BK}}{2} \Rightarrow AH + BK = 2OI$

Ta có $OI \le OM$ (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)

Dấu " =" xảy ra khi $OM \bot CD$

Ta có $AB = CD$ (gt) $\Rightarrow OH = OK$ (liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm)

Xét tam giác vuông $MHO$ theo định lí Pythagore: $M{H^2} = M{O^2} - O{H^2}$

Tương tự với $\Delta MKO$, ta có $M{K^2}{\rm{ = }}M{O^2} - O{K^2}{\rm{ }}$mà $OH = OK \Rightarrow MH = MK{\rm{ }}$ (1)

Lại có $OH \bot AB$ (gt) $\Rightarrow HA = HB = \frac{{AB}}{2}$

Tương tự $KC = KD = \frac{{CD}}{2}$ mà $AB = CD$$\Rightarrow HA = CK$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow MH - HA = MK - CK$

hay $MA = MC$.

Nhận xét: Trường hợp hai dây $AB,CD$ không bằng nhau, chằng hạn $AB > CD$ ta có bài toán sau:

Hướng dẫn: $Ta$ có $M{H^2} = M{O^2} - O{H^2}$ và $M{K^2} = M{O^2} - O{K^2}$ mà $OH < OK$ (vì $AB > CD$) $\Rightarrow MH > MK$.

Nhận xét: Trường hợp điểm $M$ nằm bên trong đường tròn ta có bài toán tương tự.

Nối $M$ với $O$.

Xét tam giác vuông $OHM$ có: $M{H^2} = O{M^2} - O{H^2}$

Tương tự với tam giác vuông OKM có $M{K^2} = O{M^2} - O{K^2}$

Mà $AB > CD(gt) \Rightarrow OH < OK \Rightarrow MH > MK$.

Ta có ${\rm{OH}} \bot {\rm{BP}}$. Tam giác $A{\rm{OB}}$ cân tại ${\rm{O}}$ nên đường cao ${\rm{OH}}$ đồng thời là đường tuyến H là trung điểm của AB:

${\rm{HA}} = {\rm{HB}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{\rm{R}}}{2}{\rm{.\;}}$

Xét tam giác vuông AHO ta có:

${\rm{OH}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{A}}^3} - {\rm{A}}{{\rm{H}}^2}} = \sqrt {{{\rm{R}}^2} - {{\left( {\frac{{\rm{R}}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{{\rm{R}}\sqrt 3 }}{2}$

Mà ${\rm{OK}} < \frac{{{\rm{R}}\sqrt 3 }}{2}\left( {{\rm{gt}}} \right) \Rightarrow {\rm{OK}} < {\rm{OH}} \Rightarrow {\rm{AB}} < {\rm{CD}}$.

Kẻ ${\rm{OH}} \bot {\rm{BC}}\,\,({\rm{H}}$ thuộc ${\rm{BC}}$).

Ta có ${\rm{OH}} \le {\rm{OA}}$ (không đổi)

${\rm{BC}}$ngắn nhất thì ${\rm{OH}}$ lớn nhất nên ${\rm{OH}} = {\rm{OA}}$ hay ${\rm{H}} \equiv {\rm{A}}$.

Vậy khi BC vuông góc với OA tại A thì độ dài dây${\rm{BC}}$ ngắn nhất.