10 Bài tập Bài toán thực tiễn có vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Ta có: ABCD là hình vuông và AC là đường chéo nên AC là đường phân giác của $\widehat {DAB}$ hay AC là đường phân giác của $\widehat {NAM}.$

Áp dụng tính chất đường phân giác trong $\Delta NAM$ với AC là đường phân giác của $\widehat {NAM}$ ta có: $\frac{{CN}}{{CM}} = \frac{{AN}}{{AM}} \Rightarrow \frac{{CN}}{{AN}} = \frac{{CM}}{{AM}};\,\,\frac{{AN}}{{CN}} = \frac{{AM}}{{CM}}.$

Như vậy, phương án A, B, C mang nội dung đúng; phương án D mang nội dung sai.

Đáp án đúng là: A

Từ giả thiết ta có: AB = 30 m, BC = 25m;

$\widehat {ADB} = \widehat {BDC}$ suy ra DB là tia phân giác $\widehat {ADC}.$

Xét ∆ADC có DB là tia phân giác $\widehat {ADC},$ nên áp dụng tính chất đường phân giác trong

∆ADC ta có: $\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{30}}{{25}} = \frac{6}{5}.$

Vậy tỉ số khoảng cách từ vị trí D đang đứng đến điểm A và đến điểm C bằng $\frac{6}{5}.$

Đáp án đúng là: A

Từ giả thiết ta có: MA = 14 m, MB = 20 m;

$\widehat {ACM} = \widehat {MCB}$ suy ra CM là tia phân giác $\widehat {ACB}.$

Xét ∆ACB có CM là tia phân giác $\widehat {ACB},$ nên áp dụng tính chất đường phân giác trong

∆ACB ta có: $\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{14}}{{20}} = \frac{7}{{10}}.$

Vậy tỉ số khoảng cách của ngư dân A và B đến cù lao C trên sông là $\frac{7}{{10}}.$

Đáp án đúng là: D

Theo bài ra ta có: GM = 3 km.

Vì ABCD là hình vuông nên CD = AD và DB là tia phân giác của $\widehat {ADC}.$

Do M là trung điểm của DC nên $DM = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}DA$ (do CD = AD).

$\Rightarrow \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{1}{2}.$

Xét ∆ADM có: DG là tia phân giác của $\widehat {ADM}$ (do DB là tia phân giác của $\widehat {ADC}$).

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆ADM với DG là tia phân giác của $\widehat {ADM}$ ta có:

$\frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{GM}}{{GA}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{3}{{GA}} \Rightarrow GA = 6$ (km).

Vậy bạn Mai phải đi quãng đường ngắn nhất từ nhà tới nhà bạn Lan là GA = 6 km để gặp Lan và Điệp.

Đáp án đúng là: B

Do $\widehat {BAC} = \widehat {CAD}$ nên AC là đường phân giác của $\widehat {BAD}.$

Xét ∆BAD có AC là đường phân giác của $\widehat {BAD},$ nên áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆BAD ta có:

$\frac{{CB}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AD}} \Rightarrow \frac{{20}}{{15}} = \frac{{AB}}{{93}}$ ⇒ AB ∙ 15 = 20 ∙ 93 ⇒ AB ∙ 15 = 1 860

$\Rightarrow AB = \frac{{1\,\,860}}{{15}} = 124$ (m).

Vậy chiều dài của dây thép khi được căng thẳng từ A đến B là 124 m.

Đáp án đúng là: A

Thời gian để bạn Hải đi từ A đến C là: 6 giờ 30 phút – 6 giờ = 30 phút = 0,5 giờ.

Quãng đường mà bạn Hải đi từ A đến C trong 0,5 giờ với tốc độ trung bình lên dốc 4 km/h là: AC = S$_{A→C}$ = 4 ∙ 0,5 = 2 (km).

Xét ∆ACB có CH là đường phân giác của $\widehat {ACB},$ nên áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆ACB ta có:

$\frac{{HA}}{{HB}} = \frac{{CA}}{{CB}} \Rightarrow \frac{{0{,}32}}{{0{,}4}} = \frac{2}{{CB}}$ ⇒ 0,32 ∙ CB = 0,4 ∙ 2 ⇒ 0,32 ∙ CB = 0,8

$\Rightarrow CB = \frac{{0{,}8}}{{0{,}32}} = 2{,}5$ (m).

Thời gian để bạn Hải đi hết quãng đường CB = 2,5 m với tốc độ trung bình xuống dốc 10 km/h là: $\frac{{2{,}5}}{{10}} = 0{,}25$ (giờ).

Như vậy, tổng thời gian bạn Hải đi từ A đến trường B là

0,5 + 0,25 = 0,75 (giờ) = 45 (phút).

Do đó bạn Hải đến trường lúc 6 giờ 45 phút.

Đáp án đúng là: C

Theo đề bài, ABCD là hình thoi nên AB = AD và AC là tia phân giác của $\widehat {BAD}.$

Ta có: AB = 3AM hay AD = 3AM (do AB = AD).

$\Rightarrow \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{1}{3}.$

Xét ∆MAD có: AI là tia phân giác của $\widehat {MAD}$ (do AC là tia phân giác của $\widehat {BAD}$),

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆MAD ta có:

$\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{IM}}{{ID}} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{IM}}{{ID}} \Rightarrow IM = \frac{1}{3}ID.$

Theo đề bài, I là địa điểm gặp nhau nên bạn Bảo đi theo quãng đường MI, bạn Lan đi theo quãng đường DI.

Ta có: S = vt, mà quãng đường bạn Bảo đi bằng $\frac{1}{3}$ lần quãng đường bạn Lan đi và vận tốc đi bộ của hai bạn đều bằng nhau nên thời gian bạn Bảo đi bằng $\frac{1}{3}$ lần thời gian bạn Lan đi thì hai bạn mới gặp nhau tại địa điểm I.

Bạn Bảo gặp bạn Lan lúc 7 giờ 30 phút nên thời gian bạn Lan đi hết quãng đường MI là:

7 giờ 30 phút – 7 giờ = 30 phút.

Khi đó, thời gian bạn Bảo đi là $\frac{1}{3} \cdot 30 = 10$ (phút).

Do đó, bạn Bảo phải xuất phát từ lúc: 7 giờ 30 phút – 10 phút = 7 giờ 20 phút.

Vậy bạn Bảo phải xuất phát lúc 7 giờ 20 phút để gặp bạn Lan lúc 7 giờ 30 phút tại điểm I.

Đáp án đúng là: D

Theo bài ra ta có: IA = 500 m = 0,5 km, AB = 6 km, IK = 1 km.

Vì $\widehat {IKA} = \widehat {AKB}$ nên AK là đường phân giác của $\widehat {IKB}.$

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆IKB có:

$\frac{{AB}}{{AI}} = \frac{{BK}}{{IK}} \Rightarrow \frac{6}{{0{,}5}} = \frac{{BK}}{1} \Rightarrow BK = \frac{6}{{0{,}5}} = 12$ (km).

Vậy khoảng cách từ người đó (vị trí K) đến hòn đảo B là BK = 12 km.

Đáp án đúng là: B

Vì $\widehat {BAD} = \widehat {CAD}$ nên AD là đường phân giác của $\widehat {BAC}.$

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆BAC có: $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$.

Suy ra $\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB + DC}}{{AB + AC}} = \frac{{BC}}{{AB + AC}} \Rightarrow \frac{{DB}}{3} = \frac{{DC}}{{3{,}5}} = \frac{5}{{3 + 3{,}5}} = \frac{{10}}{{13}}$

$\Rightarrow \frac{{DB}}{3} = \frac{{10}}{{13}} \Rightarrow DB = \frac{{3 \cdot 10}}{{13}} = \frac{{30}}{{13}} \approx 2{,}31$ (km);

Và $\frac{{DC}}{{3{,}5}} = \frac{{10}}{{13}} \Rightarrow DC = \frac{{3{,}5 \cdot 10}}{{13}} = \frac{{35}}{{13}} \approx 2{,}69$ (km).

Quãng đường vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D là:

AB + DB ≈ 3 + 2,31 = 5,31 (km).

Quãng đường vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D là:

AC + DC ≈ 3,5 + 2,69 = 6,19 (km).

Biết hai vận động viên xuất phát cùng một thời điểm và sau t phút thì hai vận động viên gặp nhau tại D nên thời gian chạy của hai vận động viên là như nhau. Mà quãng đường vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D nhỏ hơn quãng đường vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D (do 5,31 km < 6,19 km).

Do đó, trong t phút đầu vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D sẽ chạy nhanh hơn vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D.

Đáp án đúng là: A

Theo đề bài, ABCD là hình thoi nên BA = BC và BD là tia phân giác của $\widehat {ABC}.$

Vì K là trung điểm của BC nên $BK = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}BA \Rightarrow \frac{{BK}}{{BA}} = \frac{1}{2}.$

Xét ∆ABK có: BH là tia phân giác của $\widehat {ABK}$ (do BD là tia phân giác của$\widehat {ABC}$).

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆ABK với BH là tia phân giác của $\widehat {ABK}$ ta có:

$\frac{{BK}}{{BA}} = \frac{{HK}}{{HA}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{{HK}}{{HA}} \Rightarrow HA = 2HK.$

Theo đề bài, H là địa điểm gặp nhau nên bạn Hoa đi theo quãng đường KH, bạn Phương đi theo quãng đường AH.

Ta có: S = vt, mà quãng đường bạn Phương đi bằng 2 lần quãng đường bạn Hoa đi và vận tốc đi xe đạp của hai bạn đều bằng nhau nên thời gian bạn Phương đi bằng 2 lần thời gian bạn Hoa đi thì hai bạn mới gặp nhau tại địa điểm H.

Bạn Phương gặp bạn Hoa lúc 8 giờ 15 phút và Hoa xuất phát lúc 8 giờ nên thời gian bạn Hoa đi hết quãng đường KH là:

8 giờ 15 phút – 8 giờ = 15 phút.

Khi đó, thời gian bạn Phương đi là 2 ∙ 15 = 30 (phút).

Do đó, bạn Phương phải xuất phát từ lúc: 8 giờ 15 phút – 30 phút = 7 giờ 45 phút.

Vậy bạn Phương phải xuất phát lúc 7 giờ 45 phút giờ để gặp bạn Hoa lúc 8 giờ 15 phút tại điểm H.