10 Bài tập Bài toán đếm liên quan đến hình học (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Nối mỗi điểm trên mặt phẳng nối với 19 điểm còn lại trên mặt phẳng ta được 19 đoạn thẳng.

Từ đó suy ra có 19 . 20 = 380 (đoạn thẳng) được tạo thành. Nhưng khi tính như vậy thì mỗi đoạn thẳng đã được tính 2 lần.

Vậy số đoạn thẳng được tạo thành là $\frac{380}{2}$ = 190 (đoạn thẳng).

Đáp án đúng là: A

Xét véc tơ $\overrightarrow{AB}$ được tạo thành từ các điểm trên mặt phẳng.

Số cách chọn điểm A là 13 cách.

Số cách chọn điểm B là 12 cách.

Số vec tơ có thể được tạo thành là 13 . 12 = 156 (vectơ).

Đáp án đúng là: D

- Nếu trên mặt phẳng không có 3 điểm nào thẳng hàng:

Nối mỗi điểm trên mặt phẳng nối với 19 điểm còn lại trên mặt phẳng ta được 19 đoạn thẳng.

Từ đó suy ra có 19 . 20 = 380 (đoạn thẳng) được tạo thành. Nhưng khi tính như vậy thì mỗi đoạn thẳng đã được tính 2 lần.

Vậy số đoạn thẳng được tạo thành là $\frac{380}{2}$ = 190 (đoạn thẳng).

- Tương tự, số đoạn thẳng được tạo thành từ 5 điểm thẳng hàng nếu 5 điểm đó không thẳng hàng là $\frac{5.4}{2}$ = 10 (đoạn thẳng).

Số lượng đường thẳng bị giảm đi do 5 điểm thẳng hàng là 10 – 1 = 9 (đoạn thẳng).

Vậy số đoạn thẳng được tạo thành là 380 – 9 = 371 (đoạn thẳng).

Đáp án đúng là: B

- Xét 1 điểm bất kỳ trên mặt phẳng:

Từ điểm đó có thể tạo được 19 đoạn thẳng với 19 điểm còn lại.

Với mỗi đoạn thẳng, ta chọn 1 đoạn thẳng trong số 18 đoạn thẳng còn lại và nối 2 điểm với nhau sẽ tạo thành 1 tam giác. Như vậy số tam giác tạo thành là 19 . 18 = 342 (tam giác).

Nhưng mỗi tam giác đã được tính 2 lần, vậy số tam giác được tạo thành từ 1 điểm là:

$\frac{342}{2}$ = 171 (tam giác).

Có 20 điểm trên mặt phẳng nên có thể tạo thành 171 . 20 = 3420 (tam giác).

Nhưng khi xét các điểm khác nhau, mỗi tam giác đã được tính 3 lần. Vậy số tam giác thực tế có thể tạo thành là $\frac{3420}{3}$ = 1140 (tam giác).

Đáp án đúng là: B

Từ 20 đỉnh của đa giác có thể tạo được $\frac{20.19}{2}$ = 190 (đoạn thẳng).

Trong số 190 đoạn thẳng đó có 20 cạnh của đa giác.

Vậy số đường chéo của đa giác là 190 – 20 = 170 (đường chéo).

Đáp án đúng là: D

Tương tự cách tính của bài 4, số tam giác có thể tạo thành từ 20 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng là $\frac{20.19.18}{2.3}=1140$ (tam giác).

Số tam giác có thể tạo thành từ 5 điểm nếu 5 điểm này không thẳng hàng là $\frac{5.4.3}{2.3}=10$ (tam giác).

Từ 5 điểm thẳng hàng không thể tạo được tam giác, vậy số tam giác tạo được từ 20 điểm đã cho là 1140 – 10 = 1130 (tam giác)

Đáp án đúng là: D

Tương tự cách tính của bài 4, số tam giác có thể tạo thành từ một đa giác có 12 đỉnh là $\frac{12.11.10}{2.3}=220$ (tam giác).

Đáp án đúng là: D

Một đa giác 15 đỉnh có 15 cạnh.

Mỗi cạnh của đa giác có thể tạo thành 2 tam giác thỏa mãn đề bài.

Từ đó suy ra có thể tạo thành 15 . 2 = 30 (tam giác) thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Nhưng mỗi tam giác đã được tính 2 lần.

Vậy số tam giác thực tế có thể tạo được là 30 : 2 = 15 (tam giác).

Đáp án đúng là: B

Một đa giác 15 đỉnh có 15 cạnh.

Mỗi cạnh của đa giác cùng với 2 đỉnh bên cạnh sẽ tạo thành 1 tam giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác.

Suy ra số đỉnh có thể tạo thành tam giác thỏa mãn đề bài với cạnh đang xét đa giác là:

15 – 4 = 11 (đỉnh).

Vậy số tam giác thỏa mãn đề bài là: 15 . 11 = 165 (tam giác).

Đáp án đúng là: C

Số tam giác có thể tạo là: $\frac{18.17.16}{6}=816$ (tam giác).

Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác là: 18 . 14 = 252 (tam giác).

Số tam giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác là: 18 . 2 = 36 (tam giác).

Số tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

816 – 252 – 36 = 528 (tam giác).

Vậy có 528 tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài.