10 Bài tập Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét đáp án A

Có sin10° + sin11° + sin15° + sin16° = (sin10° + sin16°) + (sin11° + sin15°)

= 2sin13°cos3° + 2sin13°cos2°

= 2sin13°(cos3° + cos2°)

= 2sin13°×2cos2°30'cos0°30'

= 4sin13°cos2°30'cos0°30'.

Vậy đáp án A đúng

Xét đáp án B

sina + sin2a + sin3a + sin4a = (sina + sin4a) + (sin2a + sin3a)

= $2\sin \frac{5a}{2}cos\frac{3a}{2}+2\sin \frac{5a}{2}cos\frac{a}{2}$

$=2\sin \frac{5a}{2}(cos\frac{3a}{2}+cos\frac{a}{2})$

$=2\sin \frac{5a}{2}\cdot 2\cos acos\frac{a}{2}$

$=4\sin \frac{5a}{2}\cos acos\frac{a}{2}$.

Vậy đáp án B sai

Xét đáp án C

cosa + cos2a + cos3a + cos4a = (cosa + cos4a) + (cos2a + cos3a)

= $2\cos \frac{5a}{2}cos\frac{3a}{2}+2\cos \frac{5a}{2}\cos \frac{a}{2}$

$=2\cos \frac{5a}{2}(cos\frac{3a}{2}+\cos \frac{a}{2})$

$=2\cos \frac{5a}{2}(2\cos a\cos \frac{a}{2})$

$=4\cos \frac{5a}{2}\cos a\cos \frac{a}{2}$.

Vậy đáp án C đúng

Xét đáp án D

1 + sina + cosa + tana = $1+\sin a+\cos a+\frac{\sin a}{\cos a}$

$=\frac{c\text{osa}+\sin a\cos a+{\cos }^{2}a+\sin a}{\cos a}$

$=\frac{c\text{osa}+\sin a+\cos a(\sin a+\cos a)}{\cos a}$

$=\frac{(1+\cos a)(\sin a+\cos a)}{\cos a}$

$=\frac{\sqrt{2}(1+\cos a)(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a)}{\cos a}$

$=\frac{2\sqrt{2}{\cos }^{2}\frac{a}{2}(\sin acos\frac{π}{4}+\cos a\sin \frac{π}{4})}{\cos a}$

$=\frac{2\sqrt{2}{\cos }^{2}\frac{a}{2}\sin (a+\frac{π}{4})}{\cos a}$.

Vậy đáp án D đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

sin70° − sin20° + sin50° = (sin70° − sin20°) + sin50°

= 2cos45°sin25° + 2sin25°cos25°

= 2sin25°(cos45° + cos25°)

= 2sin25°(2cos35°cos10°)

= 4sin25°cos35°cos10°

= 4cos65°cos35°cos10°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

cosa – cos5a = $-2\sin \frac{a+5a}{2}\sin \frac{a-5a}{2}=-2\sin 3a\sin (-2a)=2\sin 3a\sin 2a$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$\frac{\sin 7α-\sin 5α}{\sin 7α+\sin 5α}=\frac{2\cos \frac{7α+5α}{2}\sin \frac{7α-5α}{2}}{2\sin \frac{7α+5α}{2}\text{cos}\frac{7α-5α}{2}}=\frac{2\cos 6α\sin α}{2\sin 6α\text{cos}α}$= cot6$α$tan$α$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$I=\frac{cos5x+cos3x}{\sin 5x-\sin 3x}=\frac{2cos\frac{5x+3x}{2}cos\frac{5x-3x}{2}}{2cos\frac{5x+3x}{2}\sin \frac{5x-3x}{2}}=\frac{2cos4x\cos x}{2cos4x\sin x}=\cot x=\frac{1}{\tan x}=3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$cos\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - cos\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)$$= - 2\sin \frac{{\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)}}{2}\sin \frac{{\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)}}{2}$

$= - 2\sin x\sin \frac{\pi }{4}$$= - \sqrt 2 \sin x$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

P = cos(120° + x) + cos(120° − x) – cosx

= $2cos\frac{(120^{\circ}+x)+(120^{\circ}-x)}{2}cos\frac{(120^{\circ}+x)-(120^{\circ}-x)}{2}-\cos x$

$=2cos120^{\circ}\cos x-\cos x$

$=2\cdot (\frac{-1}{2})\cos x-\cos x$

$=-2\cos x$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$\frac{\sin 10^{\circ}+\sin 20^{\circ}}{cos10^{\circ}+cos20^{\circ}}=\frac{2\sin \frac{10^{\circ}+20^{\circ}}{2}cos\frac{10^{\circ}-20^{\circ}}{2}}{2cos\frac{10^{\circ}+20^{\circ}}{2}cos\frac{10^{\circ}-20^{\circ}}{2}}=\frac{2\sin 15^{\circ}cos5^{\circ}}{2cos15^{\circ}cos5^{\circ}}$ = tan15°.

Đáp án đúng là: D

Có cos18° = cos78° + cosa°

$\Leftrightarrow$ cosa° = cos18° − cos78°

$\Leftrightarrow cos\alpha ^\circ = - 2\sin \frac{{18^\circ + 78^\circ }}{2}\sin \frac{{18^\circ - 78^\circ }}{2}$

$\Leftrightarrow$ cosa° = −2sin48°sin(−30°)

$\Leftrightarrow$ cosa° = sin48°

$\Leftrightarrow$ cosa° = cos42°.

Vậy số dương nhỏ nhất của a là 42.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$\frac{1}{\sin 18^{\circ}}-\frac{1}{\sin 54^{\circ}}=\frac{\sin 54^{\circ}-\sin 18^{\circ}}{\sin 18^{\circ}\sin 54^{\circ}}=\frac{2cos\frac{54^{\circ}+18^{\circ}}{2}\sin \frac{54^{\circ}-18^{\circ}}{2}}{\sin 18^{\circ}\sin 54^{\circ}}$

$=\frac{2cos36^{\circ}\sin 18^{\circ}}{\sin 18^{\circ}\sin 54^{\circ}}=\frac{2\sin 54^{\circ}}{\sin 54^{\circ}}=2$